Question

如图，点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）若C是x轴上一动点，设t=CB-CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

Answer

（1）根据点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，首先求出m的值，再求出n的值，最后列二元一次方程组求出一次函数解析式的系数；
（2）根据反比例函数和一次函数图象可以直接写出满足条件的x的取值范围；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，延长交x轴于点C，则点C即为所求，求出A′点坐标，利用两点直线距离公式求出A′B的长度．
【解析】
（1）∵点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，
∴m=-2，
∴反比例函数解析式为y=-，
∴n=1，
∴点A（-2，1），
∵点A（-2，1），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象上两点，
∴，
解得k=-1，b=-1，
故一次函数的解析式为y=-x-1；

（2）结合图象知：
当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，延长交x轴于点C，则点C即为所求，
∵A（-2，1），
∴A′（-2，-1），
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
，
解得m=-，n=-，
即y=-x-，
令y=0，x=-5，
则C点坐标为（-5，0），
当t=CB-CA有最大值，
则t=CB-CA=CB-CA′=A′B，
∴A′B==．