Question

已知：关于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）当a取何值时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根；
（2）当整数a取何值时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整数．

Answer

（1）根据关于x的方程（a-1）x2-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，则△＞0，且二次项系数不为0，列出不等式组，即可求出a的取值范围．
（2）分a-1=0和a-1≠0两种情况讨论，①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．方程的解为 x=1； ②根据方程有实数根，得出判别式≥0，再利用公式法求出方程的根，根据方程（a-1）x2-（a+1）x+2=0都是正整数根，得出a的取值范围，即可得出答案．
【解析】
（1）∵方程（a-1）x2-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴a≠1且a≠3．

（2）①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．
方程的解为 x=1；                            
②当a-1≠0时，原方程为一元二次方程（a-1）x2-（a+1）x+2=0．
△=b2-4ac=[-（a+1）]2-4（a-1）•2=（a-3）2≥0．
x=，解得x1=1，x2=．
∵方程（a-1）x2-（a+1）x+2=0都是正整数根．
∴只需为正整数．
∴当a-1=1时，即a=2时，x2=2；
当a-1=2时，即a=3时，x2=1；   
∴a取1，2，3时，方程（a-1）x2-（a+1）x+2=0的根都是正整数．