Question

如图1所示，已知二次函数y=ax²-6ax+c与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t）（t＞0）．
（1）求a、c的值及抛物线顶点D的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）如图1，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t的值；
（3）如图2，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，-4）、（4，-3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点（不与E、F、G重合），请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形；
（4）将（3）中的正方形EFGH水平移动，若点P是正方形边FG或EH上任意一点，在水平移动过程中，是否存在点P，使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形，其中PA、PB为对边．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将A、B、C三点的坐标代入已知的抛物线的解析式利用待定系数法及其求得a、c的值，配方后即可确定其顶点坐标；
（2）设抛物线对称轴与x轴交点为M，则可得到AM=1，然后根据O′A=OA=2得到O′A=2AM，最后在Rt△OAC中，利用OC和OA的关系列出有关t的方程求得t值即可．
（3）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（4）分假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形和假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形两种情况列出有关的方程求得t值即可．
【解析】
（1）把点A、C的坐标（2，0）、（0，-8t）代入抛物线y=ax2-6ax+c得，，解得  ，
该抛物线为y=-tx2+6tx-8t=-t（x-3）2+t．
∴顶点D坐标为（3，t）                              
（2）如图1，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM=1．
由题意得：O′A=OA=2．
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°．
∴∠O′AC=∠OAC=60°
∴在Rt△OAC中：
∴OC=，
即．
∴．        
（3）①如图2所示，设点P是边EF上的任意一点
（不与点E、F重合），连接PM．
∵点E（4，-4）、F（4，-3）与点B（4，0）在一直线上，
点C在y轴上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB．
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
②设P是边FG上的任意一点（不与点F、G重合），
∵点F的坐标是（4，-3），点G的坐标是（5，-3）．
∴FB=3，，∴3≤PB≤．
∵PC＞4，∴PC＞PB．
∴PB≠PA，PB≠PC．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        
（4）t=或或1．                               
∵已知PA、PB为平行四边形对边，
∴必有PA=PB．
①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
如图3所示，只有当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是（0，-8t），点D的坐标是（3，t），
又点P的坐标是（3，-3），
∴PC2=32+（-3+8t）2，PD2=（3+t）2．
当PC=PD时，有PC2=PD2
即 32+（-3+8t）2=（3+t）2．
整理得7t2-6t+1=0，
∴解方程得t=＞0满足题意．
②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
如图4所示，只有当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD
能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是（0，-8t），点D的坐标是（3，t），
点P的坐标是（3，-4），
∴PC2=32+（-4+8t）2，PD2=（4+t）2．
当PC=PD时，有PC2=PD2
即 32+（-4+8t）2=（4+t）2
整理得7t2-8t+1=0，
∴解方程得t=或1均大于＞0满足题意．
综上所述，满足题意的t=或或1．