Question

某地一经济适用房楼盘一楼是商铺（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品适用房（对外出售）．商品房售价方案如下：第八层售价为2000元/m²，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为80平方米．开发商为购买者制定了两种购买方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．
方案二：购买者一次性付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米²）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数关系式；
（2）王老师已筹到60000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议王老师使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为王老师的说法一定正确吗？请通过运算确定a的范围，阐明你的看法．

Answer

（1）分①当2≤x≤8时，用第八层售价减去楼层差价，②当9≤x≤23时，用第八层售价加上楼层差价，整理即可得解；
（2）求出购买第八层楼的首付款为48000元可知2～8层可任选；第9层以上，根据首付款不大于60000元列出不等式其解即可，然后综合两种情况即可确定出王老师可购买楼层的方案；
（3）根据购买方案二求出实交房款的关系式和按王老师的想法则要交房款的关系式，然后分情况讨论即可确定出a的取值范围．
【解析】
（1）①当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：2000-（8-x）×20=20x+1840（元/平方米）．
②当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：2000+（x-8）•40=40x+1680（元/平方米）．
∴y=；

（2）由（1）知：
①当2≤x≤8时，王老师首付款为（20x+1840）•80•30%=24（20x+1840），
∵24（20•8+1840）=48000元＜60000元，
∴2～8层可任选；
②当9≤x≤23时，王老师首付款为（40x+1680）•80•30%=24（40x+1680）元．
24（40x+1680）≤60000，
解得：x≤20.5．
∵x为正整数，
∴9≤x≤20，
综上得：王老师用方案一可以购买二至二十层的任何一层；

（3）若按方案二购买第十六层，则王老师要实交房款为：
y1=（40•16+1680）•80•92%-60a（元）
若按王老师的想法则要交房款为：y2=（40•16+1680）•80•91%（元）．
∵y1-y2=1856-60a，
∴当y1＞y2，即y1-y2＞0时，
解得0＜a＜，
此时王老师想法正确；
当y1≤y2，即y1-y2≤0时，
解得a≥，此时王老师想法不正确．