Question

定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中的四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是______；
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______

Answer

（1）m=2时，线段OA与线段BC间的距离即为两线段的距离；m=5时，过点B作BD⊥x轴于D，求出AD的长，然后利用勾股定理列式求出AB，即为线段OA与线段BC的距离；
（2）先确定出2≤m≤6，再分2≤m≤4时，d等于两平行线间的距离，（或过点B作BE⊥OA于E，求出AE的长，再利用勾股定理列式求出BE的长，即为两线段的距离）；4≤m≤6，d等于点B与点A的距离，即为⊙A的半径；
（3）根据线段与线段的距离的定义画出图形，可得点M形成的图形是两条线段和两个半圆，再分别求解即可．
【解析】
（1）当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离等于平行线间的距离，即为2；
当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如图，

过点B作BD⊥x轴于点D，则AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB===；

（2）如图，

当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
①当2≤m＜4时，d=|n|（-2≤n≤2），
或：过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，d===；
②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；

（3）根据题意画出图形，点M形成的图形为图中红线表示的封闭图形，

由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
故答案为：（1）2，；（2）当2≤m≤4时，d=|n|（-2≤n≤2）或；当4≤m≤6时，d=2；（3）16+4π．