Question

已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E．
（1）求证：AM=2CM；
（2）若∠1=∠2，，求ME的值．

Answer

（1）先根据四边形ABCD是菱形得出BC∥AD，故△CFM∽△ADM，由相似三角形的性质可知=，再根据CF=BC=AD即可得出结论；
（2））先根据AB∥DC得出∠1=∠4，再由∠1=∠2可知∠2=∠4．由等腰三角形的性质得出CE=CD．再根据四边形ABCD是菱形得出∠3=∠4．根据F为边BC的中点可知CF=CE，根据SAS定理得出△CMF≌△CME，故可得出∠CFM=∠CEM=90°．再由∠2=∠3=∠4=30°得出=的值，根据CD=2CE即可得出结论．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形．
∴BC∥AD．
∴△CFM∽△ADM．
∴=，
∵F为边BC的中点，
∴CF=BC=AD，
∴==．
∴AM=2MC；

（2）∵AB∥DC，
∴∠1=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠4．
∵ME⊥CD，
∴CE=CD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠3=∠4．
∵F为边BC的中点，
∴CF=BC．
∴CF=CE，
∵在△CMF和△CME中，
，
∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴∠CFM=∠CEM=90°．
∵∠2=∠3=∠4，
∴∠2=∠3=∠4=30°．
∴=．
∵CD=2CE=2，
∴CE=，
∴ME=1．