Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．

（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连结AC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长．

Answer

（1）求出∠BEC=45°，推出BE=BC，即可得出答案；
（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G，推出BE=CG，求出∠N=∠ECN，得出EN=EC，推出CN=2CG=2BE，根据BE=x，DN=y，CD=AD=4即可得出答案；
（3）求出∠AFE=∠CEB，推出∠HFE=∠AEC，分为两种情况：（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，推出∠EAC=∠ECB，求出tan∠EAC=tan∠ECB，代入=求出BE即可；（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，EG与AC交于点O．求出∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．求出∠CEG=∠ECA，推出EO=CO，设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，根据AO+CO=8k=5求出k，求出AE=，BE=，即可得出答案．
【解析】
（1）如图1，∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF=∠BEC，
∴∠BEC=45°，
∵∠B=90°，
∴BE=BC，
∵BC=3，
∴BE=3；

（2）如图2，过点E作EG⊥CN，垂足为点G，
∴BE=CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH=∠N，∠BEC=∠ECN，
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠N=∠ECN，
∴EN=EC，
∴CN=2CG=2BE，
∵BE=x，DN=y，CD=AD=4，
∴y=2x-4（2≤x≤3）；

（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠AFE=∠CEB，
∴∠HFE=∠AEC，
当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，
（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，
∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，
∴∠FHE=∠ECB，
∴∠EAC=∠ECB，
∴tan∠EAC=tan∠ECB，
∴=，
∴BE=，
∴DN=；
（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如图3，EG与AC交于点O．
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．
∵EN=EC，EG⊥CN，
∴∠HEG=∠CEG，
∵AH∥EG，
∴∠FHE=∠HEG，
∴∠FHE=∠CEG，
∴∠CEG=∠ECA，
∴EO=CO，
设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，
∴AO+CO=8k=5，
∴k=，
∴AE=，BE=，
∴DN=1，
综上所述，线段DN的长为或1．