Question

如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x²于A、B两点．
（1）若直线m的解析式为y=-x+，求A，B两点的坐标；
（2）①若点P的坐标为（-2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．
（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer

（1）联立抛物线y=x2与直线y=-x+的解析式，求出点A、B的坐标．
（2）①如答图1所示，求出点P坐标（-2，2），设A（m，m2）．作辅助线，构造直角梯形PGFB，AE为中位线，求出点B的坐标（用含m的代数式表示），然后代入抛物线的解析式求出m的值；
②与①解题思路一致．设P（a，-2a-2），A（m，m2）．作辅助线，构造直角梯形PGFB，AE为中位线，求出点B的坐标（用含a、m的代数式表示），然后代入抛物线的解析式得到关于m的一元二次方程，根据其判别式大于0，可证明题中结论成立．
（3）△AOB的外心在边AB上，则AB为△AOB外接圆的直径，∠AOB=90°．设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=-1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x2的解析式，由根与系数关系得到：mn=-b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵点A、B是抛物线y=x2与直线y=-x+的交点，
∴x2=-x+，
解得x=1或x=-．
当x=1时，y=1；当x=-时，y=，
∴A（-，），B（1，1）．

（2）①∵点P（-2，t）在直线y=-2x-2上，∴t=2，∴P（-2，2）．
设A（m，m2），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．

∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=（PG+BF）．
∵GE=EF=OE+OF，∴OF=GE-OE=2+2m．
∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE-PG=2m2-2．
∴B（2+2m，2m2-2）．
∵点B在抛物线y=x2上，
∴2m2-2=（2+2m）2
解得：m=-1或-3，
当m=-1时，m2=1；当m=-3时，m2=9
∴点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．
②设P（a，-2a-2），A（m，m2）．
如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
与①同理可求得：B（2m-a，2m2+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x2上，
∴2m2+2a+2=（2m-a）2
整理得：2m2-4am+a2-2a-2=0．
△=16a2-8（a2-2a-2）=8a2+16a+16=8（a+1）2+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．

（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．
设A（m，m2），B（n，n2），
如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．

∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线m的解析式为y=kx+b，联立，得：x2-kx-b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=-b．
∴b=1．
设直线m与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，-2a-2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，
即：（-a）2+（-2a-3）2=32，整理得：5a2+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-，
当a=-时，-2a-2=，
∴P（-，）．