Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=4，等边△DEF的一边在直角边AC上移动，当点E与点C重合时，点D恰好落在AB边上，
（1）求等边△DEF的边长；
（2）请你探索，在移动过程中，线段CE与图中哪条线段始终保持相等，并说明理由；
（3）若设线段CE为x，在移动过程中，等边△DEF与Rt△ABC两图形重叠部分的面积为y．请你写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）当E点与点C重合时，可证得△ADC是直角三角形，根据其边角关系，即可得出；
（2）设CE的长为x，则AE=4-x，根据直角三角形的边角关系，可得出EH、HD和DG的长，即可得出；
（3）首先求得△DHG的面积，然后，根据重叠部分的面积=等边△DEF的面积-△DHG的面积，根据EF和AC的关系，可求出x的取值范围；
【解析】
（1）当E点与点C重合时，点D恰好落在AB边上，
∵∠DEA=60°，∠A=30°，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ACD中，DC=AC=2，
∴等边△DEF的边长是2．

（2）设CE的长为x，则AE=4-x，
∴在Rt△AHE中，EH=AE=2-x，
DH=2-EH=2-（2-x）=x，
∵∠A=30°，∠DFC=60°，
∴∠DGH=∠AGF=30°，
∴在Rt△GHD中，DG=2DH=x，
∴DG=CE．

（3）由（2）得DH=x，则HG=x，
∴S△DHG=，
又∵S△DEF=，
∴y=-（0≤x≤2）．