Question

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：=；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．

Answer

（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；
（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；
（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．
（1）【解析】
∠CBD与∠CEB相等，
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，

（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴，

（3）【解析】
∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=，
∴，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=，
∴CD=（-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴，
∵tan∠DBF==，
∴tan∠CDF=．