Question

已知：如图，等边△ABC的边长是4，在等边△ABC上再叠加一个Rt△DEF，∠DEF=90°，∠F=30°，等边△ABC的边BC与EF重合，顶点E与B重合，顶点A在DF上，
（1）求边EF的长；
（2）若△ABC沿EF方向从E运动到F，速度为1m/s，时间为x秒，请你用含x的代数式表示线段AM的长；
（3）假设Rt△DEF和等边△ABC重合部分的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式；
（4）重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比有可能是7：24吗？如果有可能，请求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．

Answer

（1）先根据△ABC是等边三角形可知∠ACB=60°，再由三角形外角的性质即可得出∠CAF=30°，故可得出AC=CF=4，故可得出EF的长；
（2）根据速度为1m/s，时间为x秒，可知BE=x，BF=8-x，再由△ABC是等边三角形可知∠A=60°，由∠F=30°得出∠ANM=90°，根据直角三角形的性质得出BN=BF=，AN=4-BN=4-=，再根据M=2AN即可得出结论；
（3）根据（3）中求出的AN、AM的长可用x表示出△AMN的面积，再由y=S△ABC-S△AMN即可得出结论；
（4）根据Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°可求出DE的长，进而得出△DEF的面积，再由（3）中y与x的关系式即可得出结论．
解；（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△ACF的外角，∠F=30°，
∴∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°，
∴AC=CF=4，
∴EF=BC+CF=4+4=8；

（2）∵速度为1m/s，时间为x秒，
∴BE=x，BF=8-x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠F=30°，
∴∠ANM=90°，
∴BN=BF=；
∴AN=4-BN=4-=，
∵由（1）知，∠AMN=∠F=30°，
∴AM=2AN=2×=x；

（3）∵由（2）知，AN=，AM=x，
∴MN=，
∴S△AMN=AN•MN=××=，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴S△ABC=×4×2=4，
∴y=S△ABC-S△AMN=4-（0≤x≤8）；

（4）存在．
∵Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°，
∴DE=，
∴S△DEF=EF•DE=×8×=，
∵由（3）知，y=4-（0≤x≤8），
∴=，解得x=或x=-（不合题意），
∴存在重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比是7：24．