Question

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为y=-x+，点A、D的坐标分别为（-4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行．动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）求s随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值．

Answer

（1）把y=4代入y=-x+，求得x的值，则可得点C的坐标，把y=0代入y=-x+，求得x的值，即可得点B的坐标；
（2）作CM⊥AB于M，则可求得CM与BM的值，求得∠ABC的正弦值，然后分别从0＜t＜4时，当4＜t≤5时与当5＜t≤6时去分析求解即可求得答案；
（3）在（2）的情况下s的最大值，然后比较即可求得答案．
【解析】
（1）把y=4代入y=-x+，得x=1．
∴C点的坐标为（1，4）．
当y=0时，-x+=0，
∴x=4．
∴点B坐标为（4，0）．

（2）作CM⊥AB于M，则CM=4，BM=3．
∴BC===5．
∴sin∠ABC==．
①0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，
则QN=BQ•sin∠ABC=t．
∴S=OP•QN=（4-t）×t=-t2+t（0＜t＜4）．

②当4＜t≤5时，（如图1），
连接QO，QP，作QN⊥OB于N．
同理可得QN=t．
∴S=OP•QN=×（t-4）×t=t2-t（4＜t≤5）．

③当5＜t≤6时，（如图2），
连接QO，QP．
S=×OP×OD=（t-4）×4=2t-8（5＜t≤6）．

（3）①在0＜t＜4时，
当t=-=2时，
S最大==．
②在4＜t≤5时，对于抛物线S=t2-t，当t=-=2时，
S最小=×22-×2=-．
∴抛物线S=t2-t的顶点为（2，-）．
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大．
∴当t=5时，S最大=×52-×5=2．

③在5＜t≤6时，
在S=2t-8中，
∵k=2＞0，
∴S随t的增大而增大．
∴当t=6时，S最大=2×6-8=4．
∴综合三种情况，当t=6时，S取得最大值，最大值是4．