Question

如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：∠EBF=∠FDE．

Answer

（1）根据平行四边形ABCD的性质（平行四边形的对边平行且相等）、平行线的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）连接BD交AC于O点．根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证得四边形BEDF是平行四边形，然后由“平行四边形的对角相等”的性质推知∠EBF=∠EDF．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD （平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）连接BD交AC于O点．
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．
又∵AE=CF（已知），
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形 （对角线互相平分的四边形为平行四边形），
∴∠EBF=∠EDF（平行四边形的对角相等）．