Question

如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C，与x轴的交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点D（0，3）．

（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图②，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为-2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，连接AC交y轴于M，在x轴上是否存在点P，使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用三点式求出二次函数的解析式；
（2）若四边形DFHG的周长最小，应将边长进行转换，利用对称性，要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，只要使DG+GH+HI最小即可．由图形的对称性可知，HF=HI，GD=GE，DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，即，DF+EI=
即边形DFHG的周长最小为．
（3）要使△AOM与△PCM相似，只要使△PCM为直角三角形，且两直角边之比为1：2即可，设P（a，0），CM=，且∠CPM不可能为90°时，因此可分两种情况讨论，①当∠CMP=90°时，CM=，若，则，可求的P（-4，0），则CP=5，CP2=CM2+PM2，即P（-4，0）成立，若，由图可判断不成立； ②当∠PCM=90°时，CM=，若，则，可求出P（-3，0），则PM=，显然不成立，若，则，更不可能成立．即求出以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似的P的坐标（-4，0）．
【解析】
（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，将A（1，0）、B（-3，0）、D（0，3）代入，

得
即所求抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．

（2）如图④，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI…①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为-2，将x=-2，代入抛物线y=-x2-2x+3，得y=-（-2）2-2×（-2）+3=3
∴点E坐标为（-2，3）…（4分）
又∵抛物线y=-x2-2x+3图象分别与x轴、y轴交于点A（1，0）、B（-3，0）、
D（0，3），所以顶点C（-1，4）
∴抛物线的对称轴直线PQ为：直线x=-1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE…②
分别将点A（1，0）、点E（-2，3）
代入y=kx+b，得：解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：
y=-x+1
∴当x=0时，y=1
∴点F坐标为（0，1）…（5分）
∴|DF|=2…③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，-1）
∴…④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可         …（6分）
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小
设过E（-2，3）、I（0，-1）两点的函数解析式为：y=k1x+b1（k1≠0），
分别将点E（-2，3）、点I（0，-1）代入y=k1x+b1，得：解得：
过I、E两点的一次函数解析式为：y=-2x-1
∴当x=-1时，y=1；当y=0时，x=-；
∴点G坐标为（-1，1），点H坐标为（-，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④，可知：
    DF+EI=
∴四边形DFHG的周长最小为．…（7分）

（3）如图⑤，由（2）可知，点A（1，0），点C（-1，4），
设过A（1，0），点C（-1，4）两点的函数解析式为：y=k2x+b2，
得：
解得：，
过A、C两点的一次函数解析式为：y=-2x+2，当x=0时，y=2，即M的坐标为（0，2）；
由图可知，△AOM为直角三角形，且，
要使，△AOM与△PCM相似，只要使△PCM为直角三角形，且两直角边之比为1：2即可，
设P（a，0），CM=，且∠CPM不可能为90°时，因此可分两种情况讨论；    
①当∠CMP=90°时，CM=，
若，则，
可求的P（-4，0），
则CP=5，CP2=CM2+PM2，即P（-4，0）成立，
若，由图可判断不成立；…（10分）
②当∠PCM=90°时，CM=，若，则，
可求出P（-3，0），则PM=，
显然不成立，
若，则，更不可能成立．
综上所述，存在以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似，点P的坐标为（-4，0）．