Question

在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

Answer

（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，在由AC与BD垂直，利用对角线垂直的矩形为正方形，得到ABCD为正方形，由正方形的四条边相等得到AB=BC=4，可得出x的值为4；
（2）由矩形的对边相等，得到AD=BC=4，又F为AD的中点，得到AF=2，再由矩形的对边平行，得到AF与BC平行，由两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形AEF与三角形CEB相似，且相似比为1：2，得到EC=2AE，BE=2EF，即AC=3AE，BF=3EF，在三角形ABC和三角形ABF中，分别利用勾股定理得到AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，将各自的值代入，两等式左右两边分别相加，得到9（AE2+FE2）=2x2+20，又在直角三角形ABE中，利用勾股定理得到AE2+FE2=AB2=x2，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；由F为AD的中点，利用对称性得到BF=CF，由AF平行与BC，得到两对内错角相等，进而确定出三角形AEF与三角形BEC相似，由相似得比例，且相似比为1：2，利用锐角三角函数定义即可求出∠ECF的正弦值．
【解析】
（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BC=4，
∴x=AB=BC=4；

（2）∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴====，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，即（3AE）2=x2+42，（3FE）2=22+x2，
两式相加，得9（AE2+FE2）=2x2+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+FE2=AF2=4，
∴36=2x2+20，
解得：x=2或x=-2（舍去），
故x=2；
∵F为AD的中点，
由对称性得到BF=CF，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴==，
∴sin∠ECF===．