Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
①求证：AB=AC；
②若tan∠ABE=
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求当AC=2时，AE的长．

Answer

①由BE为圆O的切线，BA为圆的弦，即∠EAB为圆弦切角，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角，可得出∠EBA=∠C，根据已知的∠EBC=2∠C，得到∠ABC=∠C，根据等角对等边可得出AB=AC，得证；
②（i）连接OA，由AB=AC，根据等弦对等劣弧得到A为弧BC的中点，根据垂径定理的逆定理得到OA垂直于BC，D为BC的中点，再由∠EBA=∠C，由tan∠EBA的值得到tanC的值，即为tan∠ABC的值，在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数定义得出AD与BD的比值，设AD=k，则有BD=2k，利用勾股定理表示出AB，再由BC=2BD，表示出BC，即可求出AB与BC的比值；
（ii）在△ADC中，由tanC的值，及锐角三角函数定义，设AD=x，则有CD=2x，由AC=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，再由∠EBA=∠C，以及一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ABE与△BCE相似，由相似得比例，将AB及BC的值代入，用EC表示出BE，再由BE2=AE•CE，由CE=AE+AC，并将AC及表示出的BE代入，得出关于AE的方程，求出方程的解即可得到AE的长．
【解析】
①∵BE为圆O的切线，BA为圆的弦，
∴∠EBA为弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

②（i）连接OA．
∵AB=AC，∴=，
∴OA⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵tan∠ABE=，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=，
在Rt△ABD中，tan∠ABC==，
设AD=k，则BD=2k，BC=4k，
根据勾股定理得：AB==k，
则==；

（ii）在Rt△ADC中，AC=AB=2，tan∠ABE=tanC==，
设AD=x，DC=2x，根据勾股定理得：x2+（2x）2=22，
解得：x=，
∴BC=2DC=4x=，
∵∠EBA=∠C，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴====，
∴BE=AE，
又∵=，即BE2=AE•CE，
∴（AE）2=AE（AC+AE）=AE（2+AE），
整理得：AE2=2AE+AE2，
解得：AE=．