Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点P，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．

Answer

（1）求出OB，根据已知得出tan∠OAB==，求出OA，即可求出A的坐标，代入抛物线即可求出抛物线的表达式，化成顶点式即可求出D的坐标；
（2）求出C的坐标，求出E的坐标，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐标；
（3）根据P、D的坐标得出抛物线向上平移两个单位即可得出新抛物线，设点M的坐标为（m，n）．求出△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，根据面积得出|m-1|=2，求出m，代入抛物线求出n即可．
【解析】
（1）由点B（0，3），可知  OB=3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB==，
∴OA=1，
∴点A（-1，0）
∵由抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B，代入得：
，
∴b=2，c=3，
∴所求抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）该抛物线的对称轴是直线l为x=1，
∵由题意知：点B关于直线l的对称点为C，
∴点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点，
∴DE=1，
∵点D是△PBC的重心，
∴PD=2DE=2，
即得：PE=3，
∵由点P在直线l上，
∴点P的坐标为（1，6）；

（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD=2，可知将抛物线y=-x2+2x+3向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为y=-x2+2x+5，
设点M的坐标为（m，n）．
△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，
于是，由△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，
得|m-1|=2．
解得：m1=-1，m2=3．
∵点M在抛物线y=-x2+2x+5上，
∴n1=2，n2=2，
∴点M的坐标分别为M1（-1，2）、M2（3，2）．