Question

如图（1）所示，一次函数的图象过点A（4，0），B（0，4），M是线段AB的中点，
（1）求该一次函数的关系式；
（2）点D是直线AB上的一点，过点D分别作DE⊥y轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接ME、MF、EF，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．
（3）如果在（2）中，点D在线段AB上运动，其它条件不变，试求△MEF面积的最小值．

Answer

（1）本题需先设出一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0），再把A（4，0），B（0，4）代入，即可求出k、b的值，从而得出一次函数的表达式．
（2）本题需先判断出△MEF为等腰直角三角形，再根据已知条件，分两种情况进行讨论，当D在线段AB上时和D在线段AB的延长线上时，分别进行证明，从而得出答案．
（3）本题需先设出D点的坐标，从而得出则EF的值，再根据△MEF为等腰直角三角形，即可求出三角形MEF的值，从而得出S△MEF的最小值．
【解析】
（1）设该一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0）．
将（0，4）、（4，0）代入可得
k=-1，b=4．
所以该一次函数的表达式为y=-x+4；

（2）判断：△MEF为等腰直角三角形．
证明：如图，①当D在线段AB上时
连接OM∵△AOB为直角三角形，M为AB中点，
∴OM=AM．
又∵OA=OB，
∴∠EOM=∠FAM=45°．
可证四边形OFDE为矩形，
∴DF=OE．
∵DF=AF，
∴OE=AF．
∴△MEO≌△MFA（SAS）．
∴ME=MF，∠EMO=∠FMA．
∴∠EMF=90°．
②当D在线段AB的延长线上时，
可证△MED≌△MOF（SAS）．
可得△MEF为等腰直角三角形；

（3）【解析】
设D点的坐标为（x，-x+4），
则．
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴
=
=
∴S△MEF的最小值为2．