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已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点. (1)...

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C(2,m),请求出△OBC的面积S的值;
(3)过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F,交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED,是否存在点P,使得△OCD与△CPE相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)把A,B,C三点代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式. (2)把点C的横坐标代入抛物线解析式,可求得纵坐标,把点C、B坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数解析式.进而求得OG长.S△OBC=S△OGC+S△OGB (3)两三角形相似,已有两个直角相等,那么夹直角的两边对应成比例;注意对应边的不同可分两种情况进行分析. 【解析】 (1)由题意得:,(2分) 解得. 故抛物线的函数关系式为y=-x2+5x; (2)因为C在抛物线上, 所以-22+5×2=m,所以m=6(5分) 所以C点坐标为(2,6) 因为B,C在直线y=kx+b′上, 所以. 解得k=-3,b′=12 直线BC的解析式为y=-3x+12 设BC与x轴交于点G,则G的坐标为(4,0) 所以S△OBC==24 (3)存在P,使得△OCD∽△CPE设P(m,n), ∵∠ODC=∠E=90° 故CE=m-2,EP=6-n 若要△OCD∽△CPE,则要=或= 即=或= 解得m=20-3n或n=12-3m 又因为(m,n)在抛物线上, . 或. 解得,即, 或,即, 故P点坐标为(,)和(6,-6).
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考点分析:
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(1)填空:
①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(____________);
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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