Question

已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer

（1）由题意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，则△ACB∽△PCQ，=，求得CQ；
（2）根据已知得BE，再由三角函数得出PE，PC，从而求出CQ；
（3）点P在上运动时，有CQ=PC．当PC最大时，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值．
【解析】
（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=．（2分），
∴PC=．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ=PC=；（3分）

（2）当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是的中点，
∴∠PCB=45°，
BE=CE=BC=2．（4分）
在Rt△EPB中，tan∠EPB==
∴PE=BE=．
∴PC=PE+CE=．（5分）．
∴CQ=PC=．（6分）

（3）点P在上运动时，恒有CQ=PC．
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为．（7分）