Question

如图，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且△AEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为△AEF的内接正方形，△A′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形．
（1）试猜想与的大小关系，并证明你的结论；
（2）求的值．

Answer

（1）由于所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以只需比较与的大小．
（2）由于正△AEF既是正方形ABCD的内接正三角形，同时四边形A′B′C′D′又为△AEF的内接正方形，所以将AE作为中间量，求出A′B′：AB的值．
【解析】
（1）相等．
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=15°，
∴AE=，
同理，A′E′=，
∴=，
∵所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴=，=，
∴=；

（2）由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设正方形ABCD的边长是a，等边三角形AEF边长为x，
∵CE2+CF2=x2，∴CE=x，
∴BE=a-x，
∵x2=（a-x ）2+a2，
∴x2+2ax-4a2=0，
舍去负根，得x=（-）a，
∴AE=（-）AB，
设正方形A′B′C′D′的边长是y，由于△A′B′E≌△D′C′F，
∴B′E=C′F=（x-y），
在△A′B′E中，∠A′B′E=90°，∠B′A′E=30°，
∴B′E：A′B′=（x-y）：y=tan30°=：3，
∴y=（2-3）x，
∴A′B′=（2-3）AE，
∴===9-5，
∴=（9-5）2=312-180．