Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）当两个交点间的距离为时，求a的值；
（3）在（2）的条件下求出函数的最大值或最小值．

Answer

（1）令函数值y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，证△＞0即可．
（2）可设出两个交点的横坐标，然后根据韦达定理表示出两交点的距离，即可求出a的值．
（3）可根据（2）得出的a的值，求出抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出函数的最大或最小值（本题抛物线开口向上，因此只有最小值）．
【解析】
（1）令y=0，
则有x2+ax+a-2=0①，
△=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，
因此不论a的值为多少，抛物线总与x轴有两个不同的交点．

（2）设两交点的坐标为（x1，0）（x2，0）（x1＜x2）；
根据方程①可得
x1+x2=-a，x1x2=a-2
x2-x1===
∴a2-4a+8=29，即a2-4a-21=0
∴a=-3或a=7．

（3）当a=-3时，y=x2-3x-5=（x-）2-
∴函数的最小值为-
当a=7时，y=x2+7x+5=（x+）2-
∴函数的最小值为-
∴函数的最小值为-．