Question

已知半径为6的⊙O₁与半径为4的⊙O₂相交于点P、Q，且∠O₁PO₂=120°，点A为⊙O₁上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O₂交于点B，直线O₁A与直线O₂B交于点M．
（1）如图1，求∠AMB的度数；
（2）当点A在⊙O₁上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；
（3）当点A在⊙O₁上运动时，若△APO₁与△BPO₂相似，求线段AB的长．

Answer

（1）由等边对等角得∠A=∠APO1与∠PBO2=∠BPO2，又由∠O1PO2=120°，可得∠A+∠PBO2=60°，则可求得∠AMB的度数；
（2）根据题意作图，由∠A=∠APO1与∠B=∠BPO2，可得∠APO1+∠BPO2=120°，又由∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO2，则可求得∠AMB的度数；
（3）分两种情况分析：当P在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=30°，与当P不在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=60°，分析求解即可，注意不要漏解．
【解析】
（1）∵A、P都在⊙O1上，
∴∠A=∠APO1，
同理，∠PBO2=∠BPO2，
∵AB是直线，∠O1PO2=120°，
∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180°，
∴∠APO1+∠BPO2=60°，即∠A+∠PBO2=60°，
∴∠O1MO2=180°-60°=120°；
即∠AMB=120°；

（2）存在，如图所示，
∵A、P都在⊙O1上，
∴∠A=∠APO1，
同理，∠PBO2=∠BPO2，
∴∠APO1+∠BPO2=120°，
∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO2，
∴∠M=180°-∠BPO2-∠A
=180°-∠BPO2-∠APO1=180°-120°=60°；

（3）∵△APO1与△BPO2相似，且△APO1与△BPO2都是等腰三角形，
∴底角∠APO1=∠BPO2，
情况一：当P在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=30°，
作O1H⊥AB，O2D⊥AB，
∴AP=2HP，BP=2PD，
∵O1P=6，O，2P=4，
∴HP=，DP=，
∴AB=．
情况二：当P不在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=60°，
∴PA=O1A=6，PB=O2B=4，
∴AB=2．