Question

（2000•山东）如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AC为⊙O₁的直径，CA、CB的延长线分别交⊙O₂于点D、E，AC=6cm，BE=11cm，AD=BC．求：
（1）BC的长；
（2）∠DEC的余弦值；
（3）两圆⊙O₁和⊙O₂的圆心距．

Answer

（1）已知了AC、BE的长，可直接由切割线定理求出BC的长；
（2）连接AB；此时四边形ABED是⊙O2的内接四边形，则∠CAB=∠E，因此只需在Rt△ABC中求得∠BAC的余弦值即可．
（3）连接AE，易知∠ABE=90°，由圆周角定理可得AE是⊙O2的直径，那么O1O2即为△ACE的中位线，在（1）中求得了BC的长，即可得到EC的长，根据三角形中位线定理即可求出两圆的圆心距．
【解析】
（1）设BC=xcm，则AD=xcm，由切割线定理的推论知CA•CD=CB•CE；
6（6+x）=x（x+11），（1分）
即x2+5x-36=0，解得x1=4，x2=-9（舍去）
∴BC=4cm；（2分）

（2）连接AB；∵AC是⊙O1的直径，
∴CB⊥AB；
∴AB==；（4分）
又∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CAB=∠DEC，
∴cos∠DEC=cos∠CAB=；（4分）

（3）连接AE；∵AB⊥BC，
∴∠ABE=90°；
∴AE是⊙O2的直径，O1，O2分别为AC、AE的中点．
∴O1O2=CE=（4+11）=（cm）．（6分）