Question

（2000•广西）如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，BO₂切⊙O₁于点B，BO₂的延长线交⊙O₂于点D，DA的延长线交⊙O₁于点C．
（1）证明：DB⊥BC；
（2）如果AC=3AD，求∠C的度数；
（3）在（2）的情况下，若⊙O₂的半径为6，求四边形O₁O₂CD的面积．

Answer

（1）连接AB，可证得BA⊥CD，由BC是⊙O1的切线，根据切线的性质推出DB⊥BC；
（2）由AC=3AD；得AD=DC，由切割线定理得出BD=DC，则∠C=30°；
（3）先求出⊙O1的半径，AB、CD的长，由三角形的中位线定理求得O1O2的长，再求四边形O1O2CD的面积．
（1）证明：连接AB，∵BC是⊙O1的直径，
∴BA⊥CD，（1分）
所以BD是⊙O2的直径．（2分）
又∵BD是⊙O1的切线，所以DB⊥BC．（3分）

（2）【解析】
∵AC=3AD；
∴AD=DC，
∵BD2=DA•DC=DC2，（5分）
∴BD=DC，（6分）
∴∠C=30°．（7分）

（3）【解析】
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2．
∵⊙O2的半径为6，
∴AB=6，
∴r1=6，（9分）
∴AC=18，
∴AD=6，
∵O1O2是△BCD的中位线，O1O2=DC=12，（11分）
AB=3，
∴S梯形O1O2CD=（24+12）×3=54．（12分）