Question

（2010•江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是    ．

Answer

设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD-S△DPF-S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解析】
设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，
∴
解得
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴=，=（）2，
∴S△PEF=（S△AQD-S△DPF-S△APE）÷2，
∴y=-x2+x，
∵y最大值==，即y最大值=．
∴△PEF面积最大值是．