Question

（2011•道里区模拟）如图，直线l：y=x+3交x轴、y轴于A、B点，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，D点坐标为（6，0）．
（1）求：A、B、C点坐标；
（2）若直线l沿x轴正方向平移m个（m＞0）单位长度，与AD、BC分别交于N、M点，当四边形ABMN的面积为12个单位面积时，求平移后的直线的解析式；
（3）如果B点沿BC方向，从B到C运动，速度为每秒2个单位长度，A点同时沿AD方向，从A到D运动，速度为每秒3个单位长度，经过t秒的运动，A到达A′处，B到达B′处，问：是否能使得A′B′平分∠BB′D？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）因为y=x+3交x轴、y轴于A、B点，所以分别令y=0，x=0，即可求出A、B点的坐标；又因四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，D点坐标为（6，0），所以C的纵坐标为3，利用等腰梯形的轴对称性，结合A、D的坐标可知对称轴为x=2，又因B（0，3），所以D的横坐标为2+2=4；
（2）因为直线l沿x轴正方向平移m个（m＞0）单位长度与AD、BC分别交于N、M点，利用平移的性质可知AB∥MN，所以四边形ABMN为平行四边形，因此S▱ABMN=BO•m，即3m=12，解之可得m=4，所以平移后的直线过点（2，0），又因AB∥MN，所以可设平移后的直线为y=x+b，结合直线过（2，0），即可求出b，求出答案；
（3）可设经过t秒的运动，能使设A′B′平分∠BB′D，这时B′点坐标为（2t，3），A′点坐标为（3t-2，0），因为BC∥AD，利用两直线平行，内错角相等可得∠BB′A′=∠B′A′D，又因为∠BB′A′=∠A′B′D，所以∠A′B′D=∠B′A′D，利用等角对等边可得A′D=B′D，利用两点间的距离公式可得（8-3t）2=（6-2t）2+9，解之求出t的值，再结合t的取值范围决定取舍即可．
【解析】
（1）A（-2，0），B（0，3），C（4，3）；

（2）∵直线l沿x轴正方向平移m个（m＞0）单位长度与AD、BC分别交于N、M点，
∴AB∥MN，
∴四边形ABMN为平行四边形，
∴面积：S▱ABMN=BO•m，
即3m=12m=4，
∴平移后的直线为y=x-3；

（3）如图，设经过t秒的运动，能使设A′B′平分∠BB′D，
这时B′点坐标为（2t，3），A′点坐标为（3t-2，0），
∵BC∥AD，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴A′D=B′D，
即（8-3t）2=（6-2t）2+9，
整理得：5t2-24t+19=0，
∴t=1或t=，
∴当t=时，BB′=×2＞4，
∵当t=1时，BB′=1×2＜4，AA′=1×3＜8，
∴当t=1秒时，A′B′平分∠BB′D．