Question

如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，5个单位为半径画圆．直线MN经过x轴上一动点P（m，0）且垂直于x轴，当P点在x轴上移动时，直线MN也随着平行移动．按下面条件求m的值或范围．
（1）如果⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3；
（2）如果⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3；
（3）如果⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3；
（4）随着m的变化，⊙O上到直线MN距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应的m值或范围．

Answer

欲求m的值或范围，要利用MN与X轴垂直；当m=-8或8时，是圆到直线的距离等于3的临界点；当m＞8或m＜-8时，圆上就没有到直线的距离等于3的点．解答第四问要考虑到所有会出现的情况．且本题的关键在于要考虑到y轴两侧的情况．
【解析】
（1）m＜-8或m＞8时⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3；（2分）
（2）m=-8或m=8时⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3；（4分）
（3）-8＜m＜-2或2＜m＜8时⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3；（6分）
（4）当m=-2或m=2时⊙O上有且只有三个点到直线MN的距离等于3；
当-2＜m＜2时⊙O上有且只有四个点到直线MN的距离等于3．（8分）
（只写出y轴一侧情形给一半分，第四问讨论出一种情况给一半分）