Question

（2008•镇江）阅读以下材料：
对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=a（a≤-1）；-1（a＞-1）
解决下列问题：
（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=______，如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为______≤x≤______；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么______（填a，b，c的大小关系）”，
证明你发现的结论．
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，则x+y=______；
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x+1）²，y=2-x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为______．

Answer

（1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin30°，cos45°，tan30°的值，因为sin30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；
（2）结合题意，分情况讨论，将实际问题与数学思想联系起来，读懂题列出算式或一元一次不等式组即可求解；
（3）作出正确的图象，是解题的关键．
【解析】
（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=，
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；

（2）①∵M{2，x+1，2x}==x+1．
法一：∵2x-（x+1）=x-1．当x≥1时，
则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2，
∴x=1．当x＜1时，
则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x，
∴x=1（舍去）．
综上所述：x=1．
法二：∵M{2，x+1，2x}==x+1=min{2，x+1，2x}，
∴
∴
∴x=1．
②a=b=c．
证明：∵M{{a，b，c}}=，如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．则有=c，
即a+b-2c=0．
∴（a-c）+（b-c）=0．
又a-c≥0，b-c≥0．
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情况同理可证，故a=b=c．
③-4；

（3）作出图象．
最大值是1．