Question

（2009•石景山区二模）（1）如图1，四边形ABCD中，AB=CB，ABC=60°，∠ADC=120°，请你猜想线段DA，DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，请你猜想线段PA，PD，PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）可通过构建全等三角形将所求的三条线段进行转换，延长CD至E，使DE=DA．那么CD+AD=CE了，只要证明BD和CE的关系即可，根据∠ADC=120°，那么∠ADE=60°，因为AD=DE，那么△ADE是个等边三角形，AD=DE，∠E=60°．根据AB=AC，∠ABC=60°，那么△ABC是个等边三角形，那么AB=AC，
∠BAC=60°，那么∠BAD=60+∠CAD=∠EAC，因此根据求出∠EAC=∠BAD，AB=AC，AD=AE，△BAD就和△CAE全等了，因此BD=CE=CD+DE=CD+AD．
（2）我们可参照（1）在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D，然后连接AC，根据（1）得出那么△ABC和△AB′D都是等边三角形，那么AB=AC，AB′=AD，∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD，因此△BAD和△CAB′全等，那么B′D=BD，由（1）得出B′P=PA+PD，BD=PA+PD．那么我们连接B′C，分两种情况进行讨论：
①P在B′C上，那么B′C=B′P+PC=AP+PD+PC=BD．
②如果点P不在B′C上面，那么B′C＜B′P+PC，即BD＜PD+AD+PC．
【解析】
（1）如图1，延长CD至E，使DE=DA．连接AC．
∵∠ADC=120°，
∴∠ADE=60°．
∵AD=DE，
∴△EAD是等边三角形．
∴AE=AE，∠DAE=60°．
∴AB=AC，∠ABC=60°，
∵∠BAD=60°+∠CAD，∠EAC=60°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
∴△BAD≌△CAE．
故AD+CD=DE+CD=CE=BD．

（2）如图2，在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D，连接AC，
那么△AB′D和△ABC都是等边三角形，
∴AB=AC，AB′=AD．
∵∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD，
∴△AB′C≌△ADB，得B′C=DB．
∵四边形AB′DP符合（1）中条件，
∴B′P=AP+PD．
连接B′C，
（ⅰ）若满足题中条件的点P在B′C上，
则B′C=PB′+PC，
∴B′′C=AP+PD+PC．
∴BD=PA+PD+PC．
（ⅱ）若满足题中条件的点P不在B′C上，
∵B′C＜PB′+PC，
∴B′C＜AP+PD+PC．
∴BD＜PA+PD+PC．
综上，BD≤PA+PD+PC．