Question

（2009•石景山区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标是（4，0），点B在第一象限，AC是∠OAB的平分线，并且与y轴交于点E，点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD．
（1）求直线OB的解析式；
（2）当M与点E重合时，求此时点D的坐标；
（3）是否存在点M，使△OMD的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为△AOB为等边三角形，点A的坐标是（4，0），所以OB=BA=OA=4，∠BOA=60°，过B作x轴的垂线段，利用三角函数即可求出该垂线段的长度，即B的纵坐标，而B的横坐标为2，从而即可求出B的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线OB的解析式；
（2）当M与点E重合时，因为AC是∠OAB的平分线，所以∠MAO=∠MAB=30°，又因把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD，所以旋转角为60°，由此∠MAD=60°，∠OAD=90°，所以DA⊥x轴，DB⊥BA，∠EAO=∠BAD=30°，此时DA=AE=，即点D（4，8）；
（3）可过M作MN⊥x轴，设MN=a，下面需分情况讨论：
当M在x轴上方时，由∠OAM=30°，可得MA=2a，NA=a，所以S△OMD=（4-a）•a+（a+2a）•a-•4•2a，又因要使△OMD的面积等于3，利用方程即可求出a的值；
当M在x轴下方时，由∠NAM=30°可得MA=2a，NA=a，所以S△OMD=•4•2a+（a+2a）•a-•（4+a）•a=3，解之即可；
【解析】
（1）B（2，6）；lOB：y=x；

（2）如图1，由题意DB⊥BA，∠EAO=∠BAD=30度，
此时DA=AE=，即点D（4，8）；

（3）过M作MN⊥x轴，设MN=a，
如图2，当M在x轴上方时，
由∠OAM=30°，
∴MA=2a，NA=a，
S△OMD=（4-a）•a+（a+2a）•a-•4•2a=3，
解得a=3，

如图3，当M在x轴下方时，由∠NAM=30°，
∴MA=2a，NA=a，
S△OMD=•4•2a+（a+2a）•a-•（4+a）•a=3，
解得a=1，
∴M1（，3），M2（5，-1）．