Question

（2009•石景山区二模）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰经过x轴上的点A，B．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

Answer

（1）连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，AB=BC=CD=DA，由抛物线对称性可知AC=BC．∴△ABC，△ACD都是等边三角形．可求CD=AD==2，可得点C的坐标为（2，）．
（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，），可设抛物线的解析式为：y=a
由（1）可得A（1，0），把A（1，0）代入上式，解得a=-，设平移后抛物线的解析式为y=-（x-2）2+k，把（0，）代入上式得K=5．即可得到平移后抛物线的解析式．
【解析】
（1）连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，
AB=BC=CD=DA，
由抛物线对称性可知AC=BC．（1分）
∴△ABC，△ACD都是等边三角形．
∴CD=AD==2（2分）
∴点C的坐标为（2，）．（3分）

（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，），
可设抛物线的解析式为．y=a
由（1）可得A（1，0），把A（1，0）代入上式，
解得a=-．（5分）
设平移后抛物线的解析式为y=-（x-2）2+k，
把（0，）代入上式得K=5．
∴平移后抛物线的解析式为：
y=-（x-2）2+5（7分）
即y=-x2+4x+．