Question

（2008•鄂尔多斯）如图，点D，E分别是矩形OABC中AB和BC边上的中点，点B的坐标为（6，4）
（1）写出A，C，E，D四点的坐标；并判断点O到直线DE的距离是否等于线段的OE长；
（2）动点F在线段DE上，FG⊥x轴于G，FH⊥y轴于H，求矩形面积最大时点F的坐标（利用图1解答）；
（3）我们给出如下定义：分别过抛物向上的两点（不在x轴上）作x轴的垂线，如果以这两点及垂足为顶点的矩形在这条抛物线与x轴围成的封闭图形内部，则称这个矩形是这条抛物线的内接矩形，请你理解上述定义，解答下面的问题：若矩形OABC是某个抛物线的周长最大的内接矩形，求这个抛物线的解析式（利用图2解答）．

Answer

（1）根据矩形的性质和B点的坐标，易求出A、C、D、E的坐标，易知：CE=BE=3，BD=2，很明显△CDE和△BDE不相似，因此∠CED≠∠BDE，也就是说∠CED+∠BED≠90°，OE与DE不垂直，因此O到ED的距离不等于OE的长；
（2）矩形的面积实际上是F点横坐标与纵坐标的乘积，因此求出直线DE的解析式是解题的关键．可根据（1）得出的D、E的坐标求出直线DE的解析式，进而可根据矩形的面积公式得出矩形的面积S与F横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的F的坐标；
（3）本题可先根据B、C的坐标设出抛物线的解析式（使抛物线的待定系数只有二次项一个），假设矩形SPQR是抛物线的任意内接矩形（R、S在抛物线上），可根据抛物线的解析式设出R、S的坐标，即可表示出RS和RP的长，然后根据矩形周长的计算方法可得出关于矩形周长和R、S其中一点横坐标的函数关系式，题中给出了抛物线内接矩形的周长最大时，x应该为6，因此得出的函数的对称轴即为x=6，由此可确定抛物线的二次项系数的值．
【解析】
（1）A（6，0），D（6，2），E（3，4），C（0，4）
答：不等于
理由：连接OE，OD，ED．
∵OE2=25，ED2=13，OD2=40
∴OE2+ED2≠OD2
∴OE与DE不垂直，点O到直线ED的距离不是线段OE的长．
（证明方法很多，①△ODE的面积为9，求出DE边上的高h=与OE=5的长比较；
②在直线DE与x，y轴围成的三角形中，利用等积法，求点O到直线DE的距离与OE比较；
③证明△ODE和△EBD不相似，则∠OED≠90°；
④延长ED交x轴于P，在Rt△DAP中，tan∠EPO=2：3，而在△QEP中，OE：EP≠2：3，则∠OED≠90°．）

（2）解法一：
延长ED交x轴于点H．由已知得△EBD≌△HAD．
∴AH=EB=3
∴HO=9设OG=m，则HG=9-m．
由△HAD∽△HGF可得=即=
∴GF=（9-m）=-m+6
S矩形OGFH=OG•GF=m（-m+6）=-m2+6m（3≤m≤6）
当m=-=-=时，S矩形OGFH最大
GF=-×+6=3
∴点F（，3）．
解法二：设直线ED的解析式为y=kx+b，由图象经过E，D两点可得：
．
解得．
∴y=-x+6
设点F的坐标为F（m，n），
由点F在线段ED上可得：n=-m+6
∵FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，
∴FG=n，FH=m
∴S矩形OGFH=mn=m（-m+6）=-m2+6m（3≤m≤6）
当m=-当m=-=-=时，S矩形OGFH最大
GF=-×+6=3
∴点F（，3）

（3）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）由内接矩形的定义可知：
此抛物线经过B，C两点，对称轴x=-=3，且c=4
∴这个抛物线的解析式为y=ax2-6ax+4
如图，设矩形SPQR是这个抛物线的任一内接矩形，且点R（x，y）由对称性可知点S（6-x，y）
∴RS=2x-6，RQ=y
又∵点R在这个抛物线上，
∴y=ax2-6ax+4
∴C矩形SPQR=2（2x-6+y）
=2（2x-6+ax2-6ax+4）=2ax2+（-4-12a）x-4
已知可知当x=6时，C矩形SPQR取得最大值．
∴-4-12a=a
∴a=-
因此，所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+4．