Question

（2008•鄂尔多斯）如图，把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE与CD交于点O，连接DE．
（1）四边形ACED是什么图形？说明理由；
（2）若AB=4cm，AD=3cm，求DE的长．

Answer

（1）要证明等腰梯形，可看题中给的什么条件更多，在本题中，可通过证三角形全等，得出对角线之间的等量关系，因此可利用同一底上两底角相等的梯形为等腰梯形进行论证．
（2）利用（1）中的结论，结合勾股定理，可列方程求解．
【解析】
解法一：
（1）四边形ACED是等腰梯形（1分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°，DC=AB，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
由折叠可知：△ACE≌△ACB，
∴△ACE≌△ACB≌△CAD；
∴∠1=∠2，AD=CE，CD=AE（1分）
∴OA=OC，
∴OE=OD，
∴∠3=∠4（1分）
而∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠3=∠2，
∴DE∥AC；
∵在Rt△ACE中，∠1+∠ACE=90°；
在Rt△ACD中，∠2+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠ACE＜180°，
∴CE与AD不平行；
∴四边形ACED是等腰梯形；（1分）

（2）在Rt△OEC中，设EO=x，则x2+32=（4-x）2（1分）
∴x=，（1分）
由△ODE∽△OCA，得=，（1分）
∴DE=cm．（1分）

解法二：
（1）四边形ACED是等腰梯形
证明：过点D、E作AC的垂线，垂足分别是G、H，则DG∥EH；
∵△ACE≌△ACB≌△CAD，
∴∠ECA=∠DAC，AD=CE；
∴Rt△ADG≌Rt△CEH，
∴DG=EH，
∴四边形DGHE是矩形，
∴DEGH，
∴DE≠AC，
∴四边形ACED是等腰梯形；
（2）∵DC=AB=4cm，AD=3cm，∴AC=5cm，
在Rt△ADC中，∵DG•AC=AD•DC，即5DG=3×4，
∴DG=；
∴AG===，
∴DE=GH=AC-2AG=5-2×=cm．

解法三：（延长AD，CE相交于点P，利用全等，勾股定理，相似等解答，类似于解法一，略）