Question

（2007•肇庆）已知抛物线y=kx²-2kx+9-k（k为常数，k≠0），且当x＞0时，y＞1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求k的取值范围；
（3）过动点P（0，n）作直线l⊥y轴，点O为坐标原点．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于k的函数关系式；
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得不论k在其取值范围内取任意值时，△AOB的面积为定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）由顶点坐标公式（，）可得答案；
（2）依题意可得，解之可得k的取值范围；
（3）①当直线l与抛物线只有一个公共点时，有直线过顶点，可得n关于k的函数关系式，进而可作出判断；
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时，正方程式可得其对于任意的k值，方程式恒成立，故抛物线的图象过定点，因此△AOB的面积为定值．
【解析】
（1）∵，，（2分）
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2k+9）．（3分）

（2）依题意可得，（5分）
解得0＜k＜4．即k的取值范围是0＜k＜4．（6分）

（3）①当直线l与抛物线只有一个公共点时，即直线l过抛物线的顶点，
由（1）得n关于k的函数关系式为n=-2k+9（0＜k＜4）．（7分）
②结论：存在实数n，使得△AOB的面积为定值．（8分）
理由：n=kx2-2kx+9-k，整理，得（x2-2x-1）k+（9-n）=0．
∵对于任意的k值，上式恒成立，
∴，
解得，（9分）
∴当n=9时，对k在其取值范围内的任意值，抛物线的图象都通过点和点，
即△AOB的底，高为9，
因此△AOB的面积为定值．（10分）