Question

（2007•白银）两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）当x=时，E在△ABC内部，设DE交AC于G，那么重合部分的面积就是梯形EGCF的面积，可在直角三角形DCG中，根据∠D的正切值求出CG的长，然后根据梯形的面积公式即可得出重合部分的面积即y的值．
（2）当E在AB上时，在直角三角形BEF中，根据∠B的正切值和EF的长求出BF的值，进而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法进行求解．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当E在AB左侧（包括E在AB上）时，重合部分是个梯形，其面积可参照（1）的方法进行求解．
②当E在AB右侧时，重合部分是个五边形，可用梯形EGCF的面积-△EHQ的面积（设EF交AB于Q，ED交AB于H）来求重合部分的面积，据此可得出y、x的函数关系式．

【解析】
（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=．∴DC=DF-FC=．
∵tanD===，∴GC=．
∴y=（EF+GC）•FC=．

（2）当点E运动到AB上时，如图2；
∵tanB===，∴BF=．
∴x=FC=BC-BF=．
∵DC=DF-FC=，=；
∴GC=．
∴y=（EF+GC）•FC=．

（3）本题分两种情况：
①当0＜x≤时，如图3；DC=4-x；
∵tanD===，∴GC=3-x．
∴y=（EF+GC）•FC=-x2+3x．
②当＜x≤3时；如图4；y=S梯形EFCG-S△EHQ．
由①知，梯形EFCG的面积为-x2+3x．
∵tanB===，BF=3-x，
∴QF=4-x．
∴EQ=3-QF=x-1．
∵S△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
∴S△EHQ：S△EFD=（EQ：ED）2；
∴S△EHQ=（x-1）2；
∴y=S梯形EFCG-S△EHQ=-x2+3x-（x-1）2=-x2+x-．