Question

（2006•内江）已知，二次函数y=mx²+3（m-）x+4（m＜0）与x轴交于A、B两点，（A在B的左边），与y轴交于点C，且∠ACB=90度．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）矩形DEFG的一条边DG在AB上，E、F分别在BC、AC上，设OD=x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数解析式；
（3）将（1）中所得抛物线向左平移2个单位后，与x轴交于A′、B′两点（A′在B′的左边），矩形D′E′F′G′的一条边D′G′在A′B′上（G′在D′的左边），E′、F′分别在抛物线上，矩形D′E′F′G′的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据二次函数的解析式可以得到C的坐标是（0，4），则OC=4，∠ACB=90°且OC⊥AB，因而满足射影定理，因而有C02=AO•OB，AO•OB就是方程mx2+3（m-）x+4=0的两根的积，根据韦达定理，AO•OB就可以用m表示出来．得到关于m的方程，求出m的值．
（2）已知OD=x，即E点的横坐标是x，代入抛物线的解析式就可以求出E点的纵坐标；抛物线与x轴的交点坐标容易得到，根据待定系数法就可以求出直线AC的解析式．把E点的纵坐标代入AC的解析式就可以求出F点的横坐标，就可以得到EF的长（用x表示出来）．则函数解析式就可以得到．
（3）在原来抛物线解析式中用x+2代替解析式中的x，就可以得到平移后的抛物线的解析式．可以设D’（x，O），同（2）中的解法就可以求出矩形D′E′F′G′的周长关于x的函数，根据二次函数的性质求最值．
【解析】
（1）∵CO2=AO•OB
m=-
y=-x2-x+4

（2）A（-8，0），B（2，0）
OD=x
ED=4-2xEF=5x
S=ED•EF=-10x2+20x（0＜x＜2）

（3）平移后的抛物线y′=x2-
∴A′（-10，0）B’（0，0）
设D’（x，0），则G’（-10-x，0）
E'（x，x2-x），
F'（-10-x，x2-x）
C矩形D'E'F'G'=2（GD+DE）
=2[10+2x+（x2-x）]
=-x2-x+20（-5＜x＜0）
当x=-1时，C矩形D'E'F'G'最大值=20.5．