Question

如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。

1.当时，求点A的坐标及BC的长；

2.当时，连结CA，问为何值时？

3.过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

1.当m=3时，y=－x²+6x

令y=0，得－x²+6x=0，

∴∴A(6,0)

当x=1时，y=5，∴B（1,5）

又∵抛物线的对称轴为直线x=3，

又∵B、C关于对称轴对称，∴BC=4 （4分）

2.过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

∴△ACH∽△PCB

∵抛物线的

对称轴为直线x=m，其中，

又∵B，C关于对称轴对称，

∴BC=2(m－1)

∵B(1,2 m－1),P(1,m),

∴BP= m－1，

又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),

∴H(2m－1,0)

∴AH=1,CH=2m－1

∴（8分）

3.∵B，C不重合，∴m≠1，

(Ⅰ)当m＞1时，BC=2(m－1)

PM=m, BP= m－1.

(ⅰ)若点E在x轴上（如图2），

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°

∴∠MEP=∠BPC

又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP

∴△BPC≌△MEP

∴BC=PM，

∴2(m－1)=m

∴m=2

此时点E的坐标是（2,0）

(ⅱ)若点E在y轴上（如图3）

过点P作PN⊥y轴于点N，

易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴ m－1=1，

∴m=2，

此时点E的坐标是（0,4）

 (Ⅱ)当0＜m＜1时， BC=2(m－1)，PM=m

    BP= m－1.

(ⅰ) 若点E在x轴上（如图4），

   易证△PBC≌△MEP，

∴BC=PM

2(m－1)=m

∴m=

此时点E的坐标是（,0）

 (ⅱ)若点E在y轴上（如图5）

过点P作PN⊥y轴于点N，

易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴ 1－m =1，

∴m=0，（∵m>0,舍去）

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2,0）或（0,4）；

          当m=时，点E的坐标是（,0）（14分）

【解析】1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．

【解析】略