Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。

1.求证:AB是⊙O的切线；

2.若CD的弦心距为1,BE=ED.求BD的长.

Answer

1.证明：连结OD，

∵∠DOB=2∠DCB

又∵∠A=2∠DCB

∴∠A=∠DOB

又∵∠A+∠B=90°

∴∠DOB+∠B=90°

∴∠BDO=90°

∴OD⊥AB

∴AB是⊙O的切线 （5分）

2.解法一：

过点O作OM⊥CD于点M

∵OD=OE=BE=BO

∠BDO=90°

∴∠B=30°∴∠DOB=60°

∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2

∴BO=4,∴BD=（10分）

（2）解法二：

过点O作OM⊥CD于点M，连结DE,

∵OM⊥CD，∴CM=DM

又∵OC=OE∴DE=2OM=2

∵Rt△BDO中，OE=BE∴DE=BO

∴BO=4，∴OD=OE=2，∴ BD=

【解析】（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；

（2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长；

法2：过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长．