Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

1.求C点的坐标及抛物线的解析式；

2.将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

3.设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由

Answer

1.∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

        又D（5，2），

        ∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分

        ∴    解得

        ∴抛物线的解析式为： …… 4分

2.点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分

         由y = 0，得.

         解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）.   …………………………… 6分

         ∴OA=4，OB=1.

         由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

         由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

         ∴点E的坐标为（3，－1）.  ……………………………………………… 7分

         把x=3代入，得，

         ∴点E在抛物线上. ………………………………………………………… 8分

3.法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

S梯形BCGF = 5， S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，

下面分两种情形：

          ①当S1∶S2 =1∶3时，，

此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S1=2，得，解得；………………… 11分

              ②当S1∶S2=3∶1时，

此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S1= 6，得，解得.

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）……… 14分

 法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，

此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.

设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 10分

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分两种情形：

①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；

  ∴4a－7 = 2，解得；…………………………………………… 12分

②当S1∶S2 = 3∶1时，；

   ∴4a－7 = 6，解得；

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………… 14分

【解析】（1）由于CD∥x轴，因此C，D两点的纵坐标相同，那么C点的坐标就是（0，2），n=2；已知抛物线过D点，可将D的坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值，也就确定了抛物线的解析式；

（2）由于旋转翻折只是图形的位置有变化，而大小不变，因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的长可以通过C点的坐标得出，求CH即OB的长，要先得出B点的坐标，可通过抛物线的解析式来求得．这样可得出E点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可判断出E是否在抛物线上；

（3）本题可先表示出直线PQ分梯形ABCD两部分的各自的面积．首先要得出P，Q的坐标．可先设出P点的坐标如：（a，0）．由于直线PQ过E点，因此可根据P，E的坐标用待定系数法表示出直线PQ的解析式，进而可求出Q点的坐标．这样就能表示出BP，AP，CQ，DQ的长，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面积．然后分类进行讨论

①梯形BPQC的面积：梯形APQD的面积=1：3，

②梯形APQD的面积：梯形BPQC的面积=1：3，

根据上述两种不同的比例关系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的坐标．