Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

1.求证：△ABD∽△CED．

2.若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

Answer

1.证明：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．

∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°．

∴ ∠BAC＝∠ACE。

又∵ ∠ADB＝∠CDE，

∴ △ABD∽△CED。

2.【解析】
作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．              

∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．

∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1。

在Rt△BDM中，BD＝＝．

由（1）△ABD∽△CED得，，，

∴ ED＝，∴ BE＝BD＋ED＝。

【解析】（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；

（2）由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长．