Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．

1.求抛物线的解析式；

2.若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

3.当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

Answer

1.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OC=AB=4．

∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．

∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．

由题意，有  解得

∴所求抛物线的解析式为．

2.将抛物线的解析式配方，得．

∴抛物线的对称轴为x=2．

∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．

欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．

∴t=6－3t，即t=．

3.欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，

即PB=OQ或OB2=PB·QO．

①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．

当OB2=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0．

解得．

②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．

当OB2=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t2－8t－4=0．解得．

∵t=<0．故舍去，∴t=．

∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．  

【解析】（1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形POQE是等腰梯形，则OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根据这个等量关系即可求出t的值；

（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：

①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；

每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．