Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

1.求证：PC是⊙O的切线；

2.求证：BC=AB

3.点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer

1.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直径

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径                     

  ∴PC是⊙O的切线          …………………………………………………4分

2.∵PC=AC  ∴∠A=∠P

         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   

         ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

 ∴∠CBO=∠COB                 ……………………………………………5分

         ∴BC=OC

 ∴BC=AB             ………………………………………………………6分

3.连接MA,MB                         

         ∵点M是弧AB的中点

  ∴弧AM=弧BM  ∴∠ACM=∠BCM    ………7分    

∵∠ACM=∠ABM  ∴∠BCM=∠ABM        

         ∵∠BMC=∠BMN

         ∴△MBN∽△MCB                  

 ∴  

∴BM2=MC·MN        ……………………8分

         ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM

         ∴∠AMB=90°,AM=BM

   ∵AB=4  ∴BM=    ………………………………………………………9分

 ∴MC·MN=BM2=8         ……………………………………………………10分

【解析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；

（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．