Question

如图，在等腰中，，为斜边上的动点，若，交于、于.

1.如图1，若时，则=            ；

2.如图2，若时，求证：

3.如图3，当=          时，.

Answer

1.过C作CG⊥AC交AD的延长线与G点，如图1所示：

∵CG⊥AC，

∴CG∥AB．

∴△ABD∽△GCD．

∴．

∵AB=AC，

∴=．

∴tan∠EAF=．

∴=．

∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，

∴．

∴．     (3分)

2.过D作DG∥BF交AC于G点，如图2所示：

∵CD：DB=1：2，

∴CG：GF=1：2．

∵由第一问知AF：AC=CD：BD=1：2，

∴AF：FC=1：1．

∴AF：FG=3：2．

∴AE：ED=3：2．

∴DE=AE．     （8分）

3.过D作DG∥BF交AC于G点，如图3所示：

CD：BD=AF：AC=1：n，

CG：GF=1：n，

设CG=k，则：

GF=nk，

∵AE=2DE，

∴AF=2FG．

∴AF=2nk．

∴AC=3nk+k．

∵AC=nAF，

∴3nk+k=2n2k．

∴n=．   （12分）

【解析】主要是考查辅助线的做法和相似三角形的判定和性质定理。