Question

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.

1.求出点C的坐标

2.求S随t变化的函数关系式；

3.当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值

Answer

1.把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.

        ∴C点的坐标为（1，4）.

2.当y＝0时，－x＋＝0，

∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.

过点C作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.

∴BC＝＝＝5.

∴sin∠ABC＝＝.

①  0＜t＜4时，过Q作QN⊥OB于N，

② 

则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.

∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t2＋t（0＜t＜4）. ……………2分

②当4＜t≤5时，

连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN＝t.

∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.

   ＝t2－t（4＜t≤5）. …………………………….3分

③当5＜t≤6时，

连接QO，QP.

S＝×OP×OD＝（t－4）×4.

 ＝2t－8（5＜t≤6）. ……………………………….4分

S随t变化的函数关系式是.

3.①当0＜t＜4时，

∵－<0

当t＝＝2时，

S最大＝＝.  ……………………………5分

②当4＜t≤5时， S＝t2－t，对称轴为t＝－＝2，

∵>0

∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.

∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2. …………………………..6分

③当5＜t≤6时，

在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.

∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分

∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4. ………………………8分

【解析】（1）把y＝4代入直线解析式，即可求得点C的坐标；

（2）作垂线构建直角三角形，利用勾股定理和三角函数、面积的有关计算求得函数解析式，注意t的取值范围不同，S的解析式就不同。

 （3）根据（2）中的三种情况，分别求出S的最大值。