Question

有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．

1.在图1中，请你判断直线FM和BD是否垂直？并证明你的结论；

2.小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；

3.若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少.

 

Answer

1.垂直.  …………………………1分

证明：延长FM交BD于N.

如图1，由题意得：△BAD≌△MAF．

∴∠ADB＝∠AFM．

又∵∠DMN＝∠AMF，

∴∠ADB＋∠DMN＝∠AFM＋∠AMF＝90°．

∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．   2分

2.β的度数为60°或15°（答对一个得1分）   4分

3.如图2，由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A＝x，则PN＝x．

在Rt△A2M2F2中，∵M2F2＝MF＝BD＝8，∠A2F2M2＝∠AFM＝∠ADB＝30°．

∴M2A2＝4，A2F2＝. …………………………..5分

∴AF2＝－x．

在Rt△PAF2中，∵∠PF2A＝30°．

∴AP＝AF230°＝(－x)·＝4－x．

∴PD＝AD－AP＝－4＋x． ……………..6分

∵NP∥AB，∴＝．∴＝，

解得x＝6－．即平移的距离是(6－)cm．………………7分

【解析】本题涉及的知识点有三角形全等、旋转和平移、三角函数的有关计算，综合性较强。

【解析】略