Question

(本题满分12分) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   1.（1）求证：PC是⊙O的切线；

   2.（2）求∠P的度数；

   3.（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。

Answer

1.（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直径

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径                    

  ∴PC是⊙O的切线

2.（2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

m

         ∴∠A=∠ACO=∠P          ………………5分

         ∵∠A＋∠ACO＋∠PCO＋∠P=180°

 ∴3∠P=90°                

         ∴∠P=30°

3.(3) ∵点M是半圆O的中点   ∴∠BCM=45°………7分

 由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=AB=2 ……8分

作BD⊥CM于D，∴CD=BD=  ∴DM= 

∴CM=            …………………9分

∴S△BCM=   ………………10分

∵∠BOC=2∠A=60°   ∴弓形BmC的面积=  …………11分

∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为

【解析】略