Question

如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC=5,AB交y轴于点D，OD=．

（1）求出点C的坐标；

（2）过A、C、B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE．若动点M从点A出发沿x轴向x轴正方向运动，同时动点N从点E出发，在直线EB上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t为多少秒时，△MON为直角三角形?

Answer

（1）（0,4）

（2）当、或时，△MON为直角三角形

【解析】【解析】
（1）∵ BC∥x轴，

∴ △BCD∽△AOD．

∴ ．  ∴ ．

∴ ．

∴ C点的坐标为 (0，4) ．  ……………………… 1分

（2）如图1，作BF⊥x轴于点F，则BF= 4．

由抛物线的对称性知EF=3．

∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分

根据点N运动方向，分以下两种情况讨论：

① 点N在射线EB上．

若∠NMO=90°，如图1，则cos∠BEF=,

∴，解得．……………… 3分

若∠NOM=90°，如图2，则点N与点G重合．

∵ cos∠BEF=，   

∴ ，解得． …………………… 4分

∠ONM=90°的情况不存在． …………………………… 5分

② 点N在射线EB的反向延长线上．

若∠NMO=90°，如图3，则cos∠NEM= cos∠BEF，

∴ ．

∴ ，解得．  …………………… 6分

而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分

综上，当、或时，△MON为直角三角形．