Question

（本小题满分15分）如图1，抛物线经过点A和点B.已知点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是－2.

（1）求的值及点B的坐标； 

（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作x轴的垂线,垂足为点H.在DH的右侧作等边△DHG. 将过抛物线顶点Ｍ的直线记为，设与x轴交于点N.

① 如图1，当动点D的坐标为(1，2)时，若直线过△DHG的顶点G.求此时点N的横坐标是多少？

② 若直线与△DHG的边DG相交，试求点N横坐标的取值范围.

Answer

（1）∵ 点A（2，4）在抛物线上，

∴代入得 =1                                 ……………………………1分

于是抛物线的解析式为

又∵点B的横坐标为－2，代入得  ∴  B(－2,－4)     ………………2分

（2）①由题意 M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x轴，

∴ 点M在DH上，MH=5.

过点G作GE⊥DH，垂足为E.

∵△DHG是正三角形，可得EG=, EH=1，

∴ ME＝4.                   

设N ( x，0 )，则 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN，得.                       ………………5分

∴ , 解得

∴ 点N的横坐标为．                        ……………………6分

②如右图，当点D运动至与点A重合时，直线与DG交于点G，此时点N的横坐标最大．

过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F.设N（x，0）

∵  A (2, 4)， ∴ G (, 2)

∴  NQ=，NF =，GQ=2，MF =5.

由题意，

△NGQ∽△NMF，

∴ .                                      ……………………9分

∴ .

∴ .                                    ……………………10分

如右图，当点D运动至与点B重合时，直线与DG交于点D（即点B）此时点N的横坐标最小. ∵B(－2, －4) ，∴  H(－2, 0)，D(－2, －4).设N（x，0）.由题意△BHN∽△MFN，

∴ .                        ……………………13分

∴    ∴        ……………………14分

综上，点N的横坐标取值范围是≤x≤ ……15分

【解析】略