Question

如图9, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

Answer

（1）（2）(,0) （3）（－2，－3）

【解析】【解析】
（1）由二次函数与轴交于、两点可得：

解得：  

故所求二次函数的解析式为．      

（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴       ∵EF//AC, ∴,

       ∴△BEF～△BAC,                         

∴得      

故E点的坐标为(,0). 

（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有 解得：   故直线的解析式为．               

若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：  ＝

＝即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.                           

设点坐标为（，则有: 

      ＝

    ＝

             ＝   

＝

＝  ＝－

即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；

（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；

（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．